確率問題「隣人兄弟・他方の性別」 and 前回の解答
前回の解答
前回の解答発表のために頑張って考え方の解説を書いていたのですが、幸い、
ベイズの定理（入門編） - Pashango’s Blog
というエントリーが上がってきたので、暫定的にこちらを参照して貰うことにして、答えだけ発表。
前回の答えは、b-c-aです。正解された方、確率を分かってらっしゃいますね。素晴らしいです。
ところで、上記エントリはしっかりした解説だとは思うのですが、僕はP(A|B)みたいな表記を見ると蕁麻疹が出てくるので*1、お仲間向けに、今書いている解説も後ほど載せようと思います。多分、本質的な内容はさほど変わらないんですけどね。
さて・・・。上記エントリで、僕の大好きな問題「隣人兄弟・他方の性別」が出てきた上に、僕の見解と異なる解答だったので、今日はこの問題について私の見解を述べたいと思います。
「隣人兄弟・他方の性別」問題
とりあえず、問題を引用。
隣の家に2人の子供がいる事が解っています、ある日、隣の子供のうち１人が女の子である事が解りました。
このとき、もう１人の子供も女の子である確率はいくつでしょうか？
※なお、男女比は1:1とする。
皆さんも、自分なりに考えられたでしょうか。まだの人は、ぜひ一度考えてみてください。
「隣人兄弟・他方の性別」解答
考えた結果、たいていは1/2か1/3になったと思います。
1/3になった方は、
「一人が女」という情報によって、
(男,男)
(男,女)
(女,男)
(女,女)
から(男,男)が外れたので、もう一人が女である確率は1/3。
と、考えられたのではないかと思います。
しかし、この考え方には見落としがあります。
それは、『(男,女) or (女,男)のときに、「一人は男」という情報が出てくる確率』を考えていないことです。
つまり、(男,女) or (女,男)のときには、「ある日、隣の子供のうち１人が女の子である事が解りました。」という情報のうち、「一人は女」という部分は、「一人は男」にもなり得た部分なのです。これがどちらになるかという事に関する情報は特にありませんから、この確率は等しく1/2だったと考えるのが妥当でしょう。そう考えると、
(男,男) で 「一人は男」 1/4 * 1 = 1/4
(男,女) で 「一人は男」 1/4 * 1/2 = 1/8
(男,女) で 「一人は女」 1/4 * 1/2 = 1/8
(女,男) で 「一人は男」 1/4 * 1/2 = 1/8
(女,男) で 「一人は女」 1/4 * 1/2 = 1/8
(女,女) で 「一人は女」 1/4 * 1 = 1/4
となり、「一人は女」全体(1/8 + 1/8 + 1/4)のうち、もう一人が女なのは (1/4) だけですから、答えは
(1/4)/(1/8 + 1/8 + 1/4) = 1/2
となります。
こういうことが分かっていて1/2という答えを出せた方、大正解です。おめでとうございます。
直感に頼った1/2の場合、問題が複雑になると、直感が騙されることがありますので注意が必要です。
強調しておきたいこと
とにかく、『「１人が女の子である事が解りました。」という情報がどうやって出てきたのか』ということが非常に重要なんです*2。実際のところ、答え(確率)は、その前提条件次第なんです。『(男,女) or (女,男)という組み合わせの場合は必ず「一人は女」という情報が出る』という前提のもとなら、1/3という解答で正解になるのです。でも僕は、問題文に何も書いてないのにそんな前提を想定するのは、不自然だと思います。『一人分の性別のヒントを出そうとした』とか『子供のうちの一人が家から出てくるのを偶然見かけた』とか、だと考えると、「一人は男」となるか「一人は女」となるかは等確率と考えるのが妥当だと思いませんか？
